0 引言

震级作为地震大小的度量，是地震学研究中最重要的基础问题之一(陈运泰等，2004；陈章立等，2014；刘瑞丰等，2015)。随着观测技术的进步和新观测仪器的使用，基于最初的里氏震级(Richter，1935)的思想衍生出体波震级、面波震级等多种震级。对于大地震，不同震级之间的关系(Gutenberg et al，1956；Thatcher et al，1973；Kanamori，1977；Purcaru et al，1978；Hanks et al，1979)已经得到公认，并在各种文献中使用。微小地震通常仅能被震中附近的台站记录到，常使用的震级主要是近震震级和矩震级，前者使用起来极其方便，仅需测量波形记录的最大振幅而不用关心波的类型及最大振幅处的周期(陈运泰等，2004)；后者则物理意义明确。关于这些微小地震特别是1.0级以下的微震近震震级与矩震级关系如何，由于受台站监测能力与监测环境的限制，其研究成果并不多见，且多数研究基于的样本量都很少。汶川地震后，中国地震局地球物理研究所在四川省绵竹市大天池乡内布设了15个微震台站(图 1)，用来监测汶川地震断裂带科学钻探3号井孔(WFSD-3)附近的微震活动。本文收集了2012年该微震台阵记录到的218个微震，计算了其矩震级和近震震级，并结合前人的结果讨论近震震级与矩震级间关系以及它们之间关系蕴含的物理意义。

1 数据资料

天池微震台阵原计划布设在四川省绵竹市九龙镇汶川地震科学钻探3号井(WFSD-3)周围，但考虑到布设条件、人为干扰等因素，改为布设在WFSD-3西北侧的天池乡大天池村(图 1)。大天池村位于龙门山断裂带的灌县-江油断裂与北川-映秀断裂带之间，东南面为灌县-安县断裂带上的汉旺镇和九龙镇，北面为映秀-北川断裂上的清平乡，在汶川地震中受灾严重，震后大部分住户均搬迁，人为干扰小，适宜布设微震台阵。微震观测仪器采用南非矿山地震研究所(IMS)生产的矿山地震仪，记录类型为速度记录，频带14~2000Hz，最低可用频率为8Hz，设定采样率为1500sps。相关文献(叶庆东，2014；叶庆东等，2014)详细讨论了数据采集、格式转化和数据预处理的问题。鉴于仪器的频带，我们仅选择S波与P波到时差小于1s的事件。图 2给出了事件201203040137时频分析，由图可以看出，P波段频率在10~20Hz范围内，S波段频率在8~15Hz范围。该事件P、S波到时差接近1s，S段的频率接近于仪器可用频率下限。到时差的限制实际是震源距的限制，而地震波高频部分随震源距增加而衰减加剧，较大的震中距会使S波段频率降到8Hz以下而失真，影响地震矩测量，因此挑选P、S波到时差小于1s的事件是为了保证波形记录的S波段没有畸变或者畸变较小。2012年6~11月，微震台阵因为供电问题大面积瘫痪，几乎无可用资料，最后仅筛选出218个微震。图 3给出了这218个微震的水平位置、定位后的P、S波残差分布、深度-频度分布及震中距分布。

2 震级确定 2.1 矩震级确定

通过震源谱拟合确定地震矩、进而确定其矩震级被认为是较科学的确定微震震级的方法(Abercrombie，1995；Kwiatek et al，2010)。将震源、路径效应、观测仪器等视为一个线性系统，则在频率域中地震记录可以表示为

$ U\left( f \right) = \mathit{\Omega }\left( f \right)G\left( r \right)C\left( {r,f} \right){R_{\theta \phi }}S\left( f \right)I\left( f \right) $

(1)

式中，f为频率，r为震中距，U(f)为观测位移谱，Ω(f)为震源位移谱，G(r)为几何扩散，C(r，f)为非弹性衰减，R_θϕ为辐射因子，与方位角θ和离源角ϕ有关，S(f)为场地响应，I(f)为仪器响应。由于微震震中距较小，我们采用球面几何扩散模型，即G(r)=1/r；非弹性衰减表示为C(r，f)=exp[-πtf/Q(f)]，通常，由于波形记录中S波能量占主要部分，本文仅考虑S波部分，则t为S波走时，Q(f)=Q₀f^η，Q₀和η为常数，本文中参照陈丽娟等(2015)的结果，取Q₀=300，η=0.9；R_θϕ取S波辐射因子平均值0.63(Aki et al，1980)。仪器响应在数据预处理时已经去掉，且井下地震仪可以忽略掉场地响应的影响(杨志高等，2010)，因此利用式(1)只需要做简单的除法就可以得到观测的震源位移谱。已知震源谱具有式(2)的解析形式Abercrombie(1995)

$ \mathit{\Omega }\left( f \right) = \frac{{{\mathit{\Omega }_0}}}{{{{\left[ {1 + {{(f/{f_{\rm{c}}})}^{\gamma n}}} \right]}^{1/\gamma }}}} $

(2)

式中，Ω₀为震源谱的零频极限值，f_c为拐角频率，n为高频衰减率，γ为可选常数。当n=2且γ=1时，则震源谱为Brune震源谱衰减模型(Brune，1970)；当n=2且γ=2时，则为Boatwright震源谱衰减模型(Boatwright，1978)，相对于Brune模型，该模型有较快的高频衰减。利用式(2)对观测震源谱进行拟合，便可得到零频极限Ω₀和拐角频率f_c。得到零频极限后，地震矩通过M₀=4πρβ³Ω₀/R_θϕ计算得到，其中ρ为密度，取2700kg/m³；β为S波平均速度，取3100m/s；矩震级表达式为(Kanamori，1977；Hanks et al，1979)

$ {M_{\rm{W}}} = \frac{2}{3}{\rm{lg}}({M_0} - 9.1) $

(3)

尽管在由地震矩推导矩震级的公式时做了一些假设，但更多地情况下我们把式(3)看成是矩震级的定义而忽略这些假设。图 4以TC15记录到的事件20120223204147为例，给出了震源谱拟合的例子。由图 4可以看出，在低频段，基于2种不同衰减模型的拟合几乎重合，表明零频极限对所选用的震源谱衰减模型几乎没有依赖性，因此矩震级对模型没有依赖性。图 5(a)给出了矩震级的震级频度分布，可以看出，这218个微震都分布在M_W为-0.5~1.3范围内，其中0.5级以下占83%。

2.2 近震震级的确定

这些微震的震中距很小，属于近震的范畴，理论上可以由近震震级来度量，但是由于微震监测所使用的矿山地震仪的量规函数未知，其频带也不包含《地震台站观测规范》(国家地震局，1990)(以下简称《规范》)中规定的DD-1型地震仪的频带范围(为1~20Hz)，无法仿真成DD-1型地震仪记录的地震图，但考虑到最大振幅所在的S波段频率在8~15Hz(图 2)，这也在DD-1型地震仪器的通带范围内，因此我们仍使用《规范》中的量规函数(量规函数GF)。李学政等(2003)等通过对爆破余震的研究发现，《规范》将5km范围内的量规函数规定为常数1.8，可能使某些微震的震级偏大了，并以0.5km一个档给出了一套新的0~5km范围内的量规函数(量规函数LXZ)。图 5(b)和5(c)分别给出了基于量规函数GF得到的近震震级M_L1、基于量规函数LXZ得到的近震震级M_L2与累积频度的关系，震级间隔为0.1，可以看出，由于量规函数LXZ更为细化，因此震级的“档”更多；由于量规函数的差别，M_L2相比于M_L1系统地偏小，在震级小的一端两者之差可达到1.0左右。

图 5(d)和5(e)给出了2种量规函数下近震震级与矩震级的关系，对于量规函数GF有

$ {M_{\rm{W}}} = \left( {0.66 \pm 0.03} \right){M_{{\rm{L}}1}} + \left( {0.12 \pm 0.01} \right) $

(4a)

相关系数0.86，拟合优度0.74；对于量规函数LXZ，有

$ {M_{\rm{W}}} = \left( {0.53 \pm 0.03} \right){M_{{\rm{L}}2}} + \left( {0.51 \pm 0.02} \right) $

(4b)

相关系数0.77，拟合优度0.60。较高的相关系数与拟合优度表明，无论采用哪种量规函数，近震震级与矩震级都呈现出较好的线性关系，其中基于量规函数GF得到的M_L-M_W线性关系更强一些。

3 讨论

图 6分别给出了本文基于量规函数GF、LXZ得到的近震震级与矩震级关系的结果以及Bakun(1984)、Abercrombie(1995)、Jost等(1998)、Hainzl等(2002)的结果，为了便于比较，我们将部分结果外推到-2.0≤M_L≤2.5的范围内。尽管不同研究者的结果差异比较明显，但都有一个共同的特征，即对所有M_W=a+bM_L关系，系数b < 1，当震级向小的一端延伸时，总会出现M_L < M_W。矩震级实际是面波震级在6.4 < M_S≤7.8范围内，向低震级和高震级两个方向的延伸(Kanamori，1977；Hanks et al，1979；陈培善等，1991)。已有的研究(Thatcher et al，1973；陈培善等，1991；汪素云等，2009)表明，在近震震级大于3的很宽泛的范围内，矩震级、面波震级、近震震级比较一致，拟合系数b接近于1。尽管近震震级因为应用地区不同存在固有差异，但为何震级向小的一端延伸时会出现近震震级小于矩震级的情形？为什么在矩震级与近震震级关系M_W=a+bM_L中总有b < 1？这仅仅是数学上的统计结果还是有其它的物理意义？

首先，式(3)的成立需要3个条件，条件1是震源破裂过程的动力学模式为Orowan(1960)模式，即动态应力降等于静态应力降；条件2是震级和地震波辐射的能量满足Gutenberg等(1956)给出的震级能量公式

$ {\rm{lg}}{E_R} = 1.5{M_{\rm{S}}} + 4.8 $

(5)

在条件1、2的基础上得到面波震级与地震矩、应力降的关系为

$ {M_{\rm{S}}} = \frac{2}{3}\left( {{\rm{lg}}\frac{{\Delta \sigma {M_0}}}{{2\mu }} - 4.8} \right) $

(6)

式(6)中μ为剪切模量，Δσ为应力降。由于上式是完全从能量角度考虑的，因此式(6)得到的震级也称为能量震级M_E(Purcaru et al，1978)。式(3)成立的条件3是应力降与剪切模量的比值为常数10^-4(Kanamori，1977；Hanks et al，1979)，该条件与式(5)、(6)相结合等价于折合能量e_R=E_R/M₀为常数。在以上3个条件的基础上，用矩震级M_W代替面波震级M_S(或能量震级M_E)便得到式(3)。由式(5)、(6)及(3)可以看出，尽管矩震级的推导是从震级能量关系式出发的，但是由于使用了条件3，使得最终确定的矩震级表达式与能量无关。地震发生的脆性带内剪切模量大约为3~5(×10⁴)MPa，因此式(6)中震级主要由应力降大小来决定，对大地震的统计表明，大地震基本满足应力降为常量(Aki，1972；Thatcher et al，1973；Purcaru et al，1978；Hanks et al，1979)，代表能量关系的式(6)与代表地震矩关系的式(3)两者基本一致。但是，对于微小地震，很多研究者(Archuleta et al，1982；Mayeda et al，1996；Hardebeck et al，1997；陈运泰等，2000)认为应力降为常数的结论不再成立，且随地震矩增减而增减。近震震级由地震图上最大振幅决定，可认为是表征了地震波周期为1s时的能量(陈章立等，2014)，尽管“周期为1s”常常得不到满足，但是通过量规函数来补偿，仍使其具有表征地震波辐射能量的特性，可近似认为M_L≈M_E。当地震矩在某一值M_0c以下时，应力降随着地震矩减小而减小，则有

$ {M_{\rm{L}}} \approx \frac{2}{3}\left( {{\rm{lg}}\frac{{\Delta \sigma {M_0}}}{{2\mu }} - 4.8} \right) < \frac{2}{3}{\rm{lg}}{M_0} - 6.07 = {M_{\rm{W}}}\;\;\;\;({M_0} < {M_{0{\rm{c}}}}) $

(7)

对于Δσ∝M₀情况，设Δσ=kM₀，其中k < 1，则由式(6)可得

$ {M_{\rm{L}}} \approx \frac{2}{3}\left( {{\rm{lg}}\frac{{kM_0^2}}{{2\mu }} - 4.8} \right) = 2\left( {\frac{2}{3}{\rm{lg}}{M_0} - 6.07} \right) + \frac{2}{3}\left( {{\rm{lg}}\frac{k}{{2\mu }}} \right) + 8.94 = 2{M_{\rm{W}}} + {\rm{const}} $

(8)

在M_W=a+bM_L中拟合系数b为0.5，同理可得对Mayeda等(1996)观测到的Δσ∝M₀^0.25的情况b为0.8。更一般地，对Δσ∝M₀^γ的情形，b=1/(1+γ)。考虑到近震震级的定义并非完全基于地震波辐射能量及测量的误差，对于微小地震，拟合关系M_W=a+bM_L中系数b值总会比理论上的0.5或者0.8偏离，但可以得到以下2个结论：

(1) 由于应力降随地震矩减小而减小，因此近震震级小于矩震级；

(2) 拟合关系M_W=a+bM_L中b值的大小暗示着应力降与地震矩的关系，b值在0.5左右说明Δσ∝M₀，在0.8左右则说明Δσ∝M₀^0.25。式(4)给出的矩震级与近震震级的关系表明，我们的结果蕴含着Δσ∝M₀。

根据Brune(1970)，应力降可由式(9)求得

$ \Delta \sigma = \frac{{7{M_0}}}{{16r_{\rm{c}}^3}} $

(9)

其中，r_c=2.34β/2πf_c为破裂半径。图 7(a)给出了基于拟合观测谱较好的Boatwright衰减模型得到的应力降与地震矩的关系，即接近于Δσ∝M₀；图 7(b)给出了基于式(6)得到的震级与矩震级的关系、基于量规函数GF、LXZ得到的近震震级与矩震级的关系。由图 7可以看出，基于式(6)得到的能量震级比后两者偏小，但与基于量规函数LXZ的结果要接近一些。这主要是因为量规函数LXZ是李学政等(2003)基于爆破资料得到的，对于爆破，人们主要关注的是当量，而当量直接与能量相关，因此可以认为李学政等(2003)的工作使近震震级在0~5km范围内保留了更多的能量的特性。能量震级与李学政等(2003)得到的近震震级与矩震级关系的斜率均为0.53，接近于0.5。根据对式(8)的分析可知，两者斜率接近于0.5蕴含了Δσ∝M₀，这被图 7(a)给出的应力降与地震矩的关系所证实，说明了量规函数LXZ与能量震级具有一致性，因而基于量规函数LXZ得到的近震震级具有更多的“能量的属性”。反之，基于量规函数GF的近震震级与矩震级关系的斜率为0.66，处于0.5~0.8之间，说明了基于量规函数GF给出的近震震级反映地震波辐射能量的能力较弱。以上2个方面说明，从能量的角度考虑，李学政等(2003)0~5km范围内的量规函数相对于《规范》表现的更为合理。此外，由图 7(b)还可以看出，随着震级的增大，三者差异呈现减小的趋势，可能暗示着地震矩达到某一值时，三者趋于一致。

在矩震级与近震震级关系M_W=a+bM_L中，b≠1本身意味着近震震级相对于矩震级“档”存在着拉伸或者压缩，这个结论还可以从微震的震源动力学参数折合能量e_R=E_R/M₀来考查。近震震级具有反映地震波辐射能量的特点，由地面运动速度决定；矩震级完全由地震矩决定，取决于震源位移。在位移一定的情况下地面运动速度可以有不同的大小(Kanamori et al，2004)，这样就使得一个矩震级可能对应不同的包括近震震级在内的基于能量的震级。对于大地震，Kanamori等(1975)认为折合能量e_R=E_R/M₀为常数，意味着地震矩和地震波辐射能量是一一对应的关系，因此矩震级与其它基于能量的震级也是一一对应的；但更多的研究者(Thatcher et al，1973；Kanamori et al，1993；Abercrombie，1995；Izutani et al，2001；Prejean et al，2001；Kanamori et al，2004)认为，折合能量随地震矩增减而增减，即E_R∝M₀²，本文的结果也支持这一观点(图 8)。假设地震矩有一个微小的扰动δM₀，则矩震级和基于能量的震级扰动分别为

$ \begin{array}{l} \delta {M_{\rm{W}}} \propto {\rm{lg}}\left( {1 + \frac{{\delta {M_0}}}{{{M_0}}}} \right)\\ \delta {M_{\rm{L}}} \propto 2{\rm{lg}}\left( {1 + \frac{{\delta {M_0}}}{{{M_0}}}} \right) \end{array} $

(10)

上式说明近震震级的不确定性为矩震级的2倍，近震震级较大的不确定性使得其“档”多于矩震级。式(10)与式(8)完全一致，但值得注意的是，在式(8)的推导过程中我们假定了动态应力降等用于静态应力降，但在考虑折合能量的时候则并不需要这个条件，因此式(10)更为严谨一些。由于动态应力降与静态应力降在数值上接近(Kanamori，1994)，使应力降、折合能量(或视应力σ_app=μe_R)与地震矩呈相近的关系，因而无论是从应力降还是折合能量来分析，结果都是一致的。

图 5中3种震级-频度关系都与理论上的G-R公式存在出入，这一方面说明我们使用的地震目录是不完整的，另外也与使用的方法和参数有关。这种差别会影响地震活动性参数的分析，最明显的是对b值的影响。例如基于矩震级得到的b值因为其“档”较少而值较大，而基于量规函数LXZ得到的b值相对较小。汪素云等(2009)发现，因为震级测量方法不同，基于不同震级转换关系得到的b值在华北地区差异达0.2以上。

4 结论

本文利用震源谱拟合计算了龙门山断裂带科学钻探3号井孔附近218个微震的矩震级，并同时采用了量规函数GF和LXZ两种近震震级的量规函数得到这些微震两种不同的近震震级。从近震震级和矩震级原始定义出发，分析了矩震级与两种近震震级的关系可能蕴含的意义。其主要结论如下：

(1) 微震近震震级小于矩震级可能与微震的应力降随震级减小相关。从矩震级的来源看，Gudenberg等(1956)的震级能量关系是成立的重要条件之一，但是由于使用了基于大地震资料得来的应力降与剪切模量比值为常数的假定，使得矩震级仅依赖于地震矩；近震震级依赖于地震波记录的最大振幅，具有能量的属性，与基于震级能量关系但未使用应力降与剪切模量比值为常数时的矩震级(能量震级M_E)等价。当地震矩在某一临界值M_0c以上且应力降几乎为常数时，近震震级与矩震级几乎相等；而低于该临界地震矩M_0c时，应力降随地震矩降低而降低，近震震级低于矩震级。

(2) 微震近震震级与矩震级的关系M_W=a+bM_L系数b反映了微震的震源力学参数的定标关系，从b值的大小可以判断地震矩与应力降、视应力等力学参数的关系以及认识微小地震的震源力学过程。一般地，对于Δσ∝M₀^γ的情形，近震震级与矩震级拟合关系M_W=a+bM_L中系数b等价于1/(1+γ)，当γ=1时，b=0.5，对应于本文的情形；γ=0.25，b=0.8，对应于Mayeda等(1996)观测到的情况。

(3) 对比基于量规函数GF、LXZ得到的近震震级以及能量震级与矩震级的关系发现，基于量规函数LXZ的近震震级接近于能量震级，很好地契合了李学政等(2003)基于爆破当量测定近震震级这一事实；另外，基于量规函数LXZ得到的近震震级、能量震级与矩震级的回归关系中系数b均为0.53，接近于0.5，与本文中应力降与地震矩的关系Δσ∝M₀相互印证，而基于量规函数GF的近震震级与矩震级的回归系数0.66，偏离0.5较多。以上从两个方面证明，从能量的角度来看，《规范》将0~5km内的量规函数视为常数会使测量的近震震级偏大，量规函数LXZ优于量规函数GF。